逆正接関数による円周率の公式

π/4の逆正接公式 (Machin-like formula)

π/4を求める逆正接公式(Machin-like formula)で，6項では最良の次の公式を導きました。
π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
また，π/4を求める新方式の逆正接公式探索法を考え，7項では最良の次の公式を導きました。
π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/142057)-arctan(1/99368343)-arctan(1/54838715017299308)-arctan(1/88942800178226109582168404411725)+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)}

最良のπ/4の逆正接公式

次の，π/4の逆正接関数の新しい4項公式を，コンピュータによる探索により発見しました。(2013年11月)
    π/4=16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/347)-4arctan(1/361577)
松元隆二氏による，円周率を計算するときの計算時間の判定法
    「arctan(1/x)をテーラー展開で計算したとき，10000桁の精度を得るために必要な項数」
により，「項数」を求めると
    5000*(1/LOG10(21)+1/LOG10(239)+1/LOG10(347)+1/LOG10(361577))≒8752
となります。
しかし，残念ながら海外サイトの http://www.machination.eclipse.co.uk/index.html （Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih) に，これらの公式が既に記載されていました。
また，後から気が付いたことですが，この公式は高野喜久雄氏の公式
    π/4=16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/421)+4arctan(1/1985)
から導くことができます。

逆正接関数に対する加法定理

arctan(a)=α，arctan(b)=βとおくと，tanα=a，tanβ=b　ただし，-π/2<α± β<π/2 とする。
加法定理により tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ) (複合同順) であるから
    tan(α±β)=(a±b)/(1∓ab)
よって
    α±β=arctan((a±b)/(1∓ab))
したがって
    arctan(a)±arctan(b)=arctan((a±b)/(1∓ab)) …①
これより
   arctan(1/x)±arctan(1/y)=arctan((y±x)/(xy∓1)) …②
例　arctan(1/n)-arctan(1/(n+1))=arctan(1/(n^2+n+1)) であるから，
    arctan(1/n)=arctan(1/(n+1))+arctan(1/(n^2+n+1))
特に n=1 とすると，arctan(1/1)=arctan(1/2)+arctan(1/3) となるから
    π/4=arctan(1/2)+arctan(1/3)
また，n=2 とすると，arctan(1/2)=arctan(1/3)+arctan(1/7) となるから
    π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)

②より
    arctan(m/n)=arctan(1/x)+arctan(1/y) ⇔ m/n=(x+y)/(xy-1) ⇔ (mx-n)(my-n)=m^2+n^2 …③
③を用いて arctan(1/421)+arctan(1/1985)=arctan(3/1042) を変形すれば，arctan(3/1042) は

arctan(1/251)-arctan(1/905)
arctan(1/343)-arctan(1/27493)
arctan(1/347)-arctan(1/361577)
arctan(1/353)+arctan(1/21637)
arctan(1/421)+arctan(1/1985)

と分解でき，高野喜久雄氏の公式など，5つの公式がいわば「兄弟公式」であることが分かります。
同様に既存の公式を②，③を用いて変形して，より収束が速い公式を作ることが可能です。
柴田昭彦氏の公式（http://www5f.biglobe.ne.jp/~tsuushin/sub1d.html）
    π/4=12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/580)-4arctan(1/1710)
の，arctan(1/580)+arctan(1/1710)=arctan(10/4331) に③を用いて
    π/4=12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/433)+4arctan(1/1875333)
を導きました。この公式の「項数」は9047です。しかし，この公式も既に発見されていました。公式の証明　arctan.pdf

重要な恒等式

任意の0でない実数nについて
    2arctan(1/(2n))-arctan(1/n)={arctan(1/(2n))+arctan(1/(2n))}-arctan(1/n)=arctan(4n/(4n^2-1))-arctan(1/n)=arctan(1/(4n^3+3n))
これより，次の等式が成り立ちます。
    arctan(1/n)=2arctan(1/(2n))-arctan(1/(4n^3+3n)) …④
特にnが自然数のとき，恒等式④を用いて1つの項を2つの項に分解すると，n≦6では「項数」は減少しますが，n≧7では「項数」は増加してしまいます。
また，n=60のときに「項数」の増加量は最大で，n≧60ではnが大きくなるにつれて「項数」の増加量は減少し， n→∞ のとき増加量→0となります。
恒等式④を公式の各項に適用することにより，公式が無数に作れることが分かります。よって，n≧7に対して恒等式④を適用して作られた公式は新公式ではないと考えるべきでしょう。

例　恒等式④において特に n=1 とすると，arctan(1/1)=2arctan(1/2)-arctan(1/7) となるから
    π/4=2arctan(1/2)-arctan(1/7)
例2　π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7) と arctan(1/3)=2arctan(1/6)-arctan(1/117) より π/4=4arctan(1/6)+arctan(1/7)-2arctan(1/117)
    これと arctan(1/6)=arctan(1/7)+arctan(1/43) より π/4=5arctan(1/7)+4arctan(1/43)-2arctan(1/117)

分子が2の項の分解公式
恒等式④においてnをn/2に置き換えれば，次の恒等式が得られ，分子が2の項は，分子が1の項2つに分解できます。
    arctan(2/n)=2arctan(1/n)-arctan(2/(n^3+3n)) …⑤
この恒等式においてnが奇数のとき，n^3+3nは偶数となり，2/(n^3+3n)の分子は約分されて1になります。

その後，松元隆二氏の公式から，⑤を用いて次の最良の6項公式を導きました（2015年11月）。これは，上記のサイトにもなく，私が調べた範囲では，分子が1であるものでは，「項数」が6646で最小の公式です。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
また，松元隆二氏の公式から，次の最良の5項公式を導きました。
    π/4=24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
なお，松元隆二氏の公式は，http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/syumi.html#pi にあります。

また，円周率を求める新方式の逆正接の公式を考え，項の数を制限しなければ「項数」がいくらでも0に近い(小さい)公式が存在することを示しました。
この定理に基づき，「項数」が5460で世界最小の14項の公式を導きました。ただし，項の数が増えて分母が巨大になると，同じ「項数」でも計算量は増大するため，最速の公式ではありません。
    π/4=22arctan(1/28) +arctan(1/56547)+arctan(1/20747394343)+arctan(1/1112172624652580034840)-arctan(1/16659543628852678157467292276729792021493732)+……    data28.txt

項の数ごとの最良なπ/4の公式を列挙すると，次のようになります。(7項公式は2022年8月4日に，8項公式は9月1日に改訂しました。)
ただし、現代の計算法（高速フーリエ変換とBinary Splitting Algorithm）で円周率の世界記録に挑戦するとき，分母が極端に大きい場合は「項数」は計算量の指標には成り得ず，「項数」が示す計算時間より遅くなります。したがって，円周率を計算するだけなら項の数が多い公式は無用かもしれませんが，「こんな公式があるのか、面白いな。」と思って頂ければ幸いです。

項の数     発見者   「項数」　       公式
2項       Machin   9256    4arctan(1/5)-arctan(1/239)
3項       Gauss    8933    12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
4項       Størmer 7930    44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
5項       清宮      8041    24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
6項       清宮      6646    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
7項       清宮      6510    22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/142057)-arctan(1/99368343)-arctan(1/54838715017299308)-arctan(1/88942800178226109582168404411725)+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)}
8項       清宮    5957    22arctan(1/28)+5arctan(1/275807)+2{-arctan(1/4502818)-arctan(1/6517800704875)-arctan(1/9212471014481931704011)-arctan(1/70704459948507372717310039576656818087737)-arctan(1/53420185531159128719655111112144347023483942391845430509956110327549762277736829478)-arctan(1/23978789914814865470102987572115910060409457104099281275234313793187735578982987169420481383209834503671373460415550258684361268884108839901249801109245130492532)}
9項      清宮      5839    22arctan(1/28)-arctan(1/10812186007)+2{arctan(1/113093)-arctan(1/127512137874)+arctan(1/39607459902580216106307)-arctan(1/7061522233235689255725231071663715115695328)+arctan(1/10486631320854991392232831568340090082541694282525351757667059391809990997765309021)+arctan(1/82196950554656533128604331781786647724535745427534755760994665875961196200941351390954750726224418488112109444583799954171398373336018851114123630259983350135006)-arctan(1/1044329610045537687475273636184832970888152768287756220414845677774687731484005759572818119800312941679867142823730101516247129424982871583369968696900268745881658491626530063322540026176621137187443783573859683152055203326676189543778576923410372296918643698117712725294398219743005667378690081906177663821783157922943)}

註　公式の発見には，白石和夫先生の十進BASICの有理数モードを使用しました。
    発見者，発見年などは，松元隆二氏，柴田昭彦氏，M.R.Wetherfield，Wikipediaなどのウェブページなどを参考にしました。

公式の証明

次の十進BASICの有理数モードのプログラムを実行することにより
    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)=arctan(1)
が証明されます。

OPTION ARITHMETIC RATIONAL
DATA 83,107,17,1710,44,-225443,68,-2513489,22,42483057,34,7939642926390344818
FOR i=1 TO 6
   READ n,x
   FOR j=1 TO n
      LET a=(a*x+1)/(x-a)
   NEXT j
NEXT i
PRINT a
END

円周率の計算

千桁    十進BASICの1000桁モードによるものです。

OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
PRINT 4*(83*arctan(1/107)+17*arctan(1/1710)-44*arctan(1/225443)-68*arctan(1/2513489)+22*arctan(1/42483057)+34*arctan(1/7939642926390344818))
END

EXTERNAL FUNCTION arctan(x)
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET xx=-x*x
LET kou=x*xx
LET s=x
LET k=1
DO
   LET s=s+kou/(2*k+1)
   LET kou=kou*xx
   LET k=k+1
LOOP WHILE ABS(kou)>EPS(0)
LET arctan=s
END FUNCTION

十億桁    Binary Splitting Algorithmを用いた計算法を，GNU Multi-Precision Libraryを組み込んだC用に書いたもので，8GBのメモリで10億桁が計算できます。(円周率の計算)

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <gmp.h>
#include <math.h>
#include <time.h>

void BSA(mpz_t T,mpz_t P,mpz_t Q,long p,mpz_t QZ,mpz_t QQ,long left,long right,long end) {
    if (right>left){
        long middle=(left+right)/2;
        mpz_t T1,P1,Q1;
        mpz_init(T1);
        mpz_init(P1);
        mpz_init(Q1);
        BSA(T,P,Q,p,QZ,QQ,left,middle,end);
        BSA(T1,P1,Q1,p,QZ,QQ,middle+1,right,end);
        mpz_mul(P,P,Q1);
        mpz_addmul(P,T,P1);
        mpz_clear(P1);
        if (right==end) {
            mpz_clear(T);
            mpz_init(T);
        }else{
            mpz_mul(T,T,T1);
        }
        mpz_clear(T1);
        mpz_mul(Q,Q,Q1);
        mpz_clear(Q1);
    }else{
        if (left==0){
            mpz_set_si(T,-4*p);
            mpz_set_si(P,4*p);
            mpz_set(Q,QZ);
        }else{
            mpz_set_si(T,-2*left-1);
            mpz_set_ui(P,1);
            mpz_mul_ui(Q,QQ,2*left+1);
        }
    }
}

void ARCTAN0(mpf_t arctan,long p,char *q,unsigned long digits){
    mpz_t P,Q,T,QZ,QQ;
    mpf_t temp;
    mpz_init(QZ);
    mpz_init(QQ);
    mpz_set_str(QZ,q,10);
    mpz_mul(QQ,QZ,QZ);
    long exp;
    double a=mpz_get_d_2exp(&exp,QQ);
    long n=digits/((exp+log2(a))*log10(2));
    mpz_init(P);
    mpz_init(Q);
    mpz_init(T);
    BSA(T,P,Q,p,QZ,QQ,0,n,n);
    mpz_clear(QZ);
    mpz_clear(QQ);
    mpz_clear(T);
    mpf_init(arctan);
    mpf_set_z(arctan,P);
    mpz_clear(P);
    mpf_init(temp);
    mpf_set_z(temp,Q);
    mpz_clear(Q);
    mpf_div(arctan,arctan,temp);
    mpf_clear(temp);
}

void ARCTAN(mpf_t pi,long p,char *q,unsigned long digits){
    mpf_t arctan;
    ARCTAN0(arctan,p,q,digits);
    mpf_add(pi,pi,arctan);
    mpf_clear(arctan);
}

void TIME(clock_t start){
    clock_t end=clock();
    printf("%.3f s\n",(double)(end-start)/CLOCKS_PER_SEC);
}

int main () {
    FILE* fp;
    unsigned long digits=1000000000;
    unsigned long prec=(digits+5)*log2(10);
    mpf_t pi;
    clock_t start=clock();

    mpf_set_default_prec(prec);
    ARCTAN0(pi,83,"107",digits);
    TIME(start);
    ARCTAN(pi,17,"1710",digits);
    TIME(start);
    ARCTAN(pi,-44,"225443",digits);
    TIME(start);
    ARCTAN(pi,-68,"2513489",digits);
    TIME(start);
    ARCTAN(pi,22,"42483057",digits);
    TIME(start);
    ARCTAN(pi,34,"7939642926390344818",digits);
    TIME(start);

    fp=fopen("pi.txt","w");
    mpf_out_str(fp,10,digits+1,pi);
    fclose(fp);
    mpf_clear(pi);
    TIME(start);
    return 0;
}

2項公式

1706年にJohn Machinが発見した次の公式が最良で，「項数」は9256です。
    π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)
2項公式は4つしかないことが知られていて，残りの3つは次のものです。
    π/4=arctan(1/2)+arctan(1/3)
    π/4=2arctan(1/2)-arctan(1/7)
    π/4=2arctan(1/3)+arctan(1/7)
ただし，
    2arctan(1/3)+arctan(1/7)=2{arctan(1/2)+arctan(1/3)}-{2arctan(1/2)-arctan(1/7)}
が成り立ちますから，独立な公式は3つしかありません。

3項公式

1863年にKarl Friedrich Gauss(ガウス）が発見した次の公式が最良で，「項数」は8933です。
    π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
また，Machinの2項公式において，恒等式④により arctan(1/5)=2arctan(1/10)-arctan(1/515)となるので，次の公式が得られ，「項数」は8946です。
    π/4=8arctan(1/10)-arctan(1/239)-4arctan(1/515)
この公式は，1723年にSimsonが，1730年に Klingenstiernaが発見したそうです。
また，Machinの2項公式において，arctan(1/239)=2arctan(1/478)-arctan(1/54608393) となるので，次の公式が得られますが，「項数」は9666でMachinの2項公式より非効率な公式です。
    π/4=4arctan(1/5)-2arctan(1/478)+arctan(1/54608393)
この公式は1896年にStørmerが発見したそうです。コンピュータがなかった時代に恒等式④を用いずにこの公式を発見するのは難しいので，Størmerは恒等式④を用いたのではと推測されます。
他の公式は「項数」がさらに大きく，次の公式はJ.W.Wrench.Jrが1938年に発見したもので「項数」は10187です。
    π/4=5arctan(1/7)+4arctan(1/53)+2arctan(1/4443)

4項公式

ガウスによる3項公式よりも「項数」が少ないのは上位5公式だけです。

                                         π/4の4項公式
項数
     発見者発見年

44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) 7930 F.C.M.Størmer
1896

22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
8172 E.B.Escott
1896

17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+10arctan(1/5118)+5arctan(1/6072) 8554 Jörg Arndt 1993

16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/347)-4arctan(1/361577)
8752 M.R.Wetherfield 1980

12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443) 8900 高野喜久雄 1982

16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/343)-4arctan(1/27493) 8982 松元隆二 1996

16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/353)+4arctan(1/21637) 9000 松元隆二 1996

12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/433)+4arctan(1/1875333) 9047 Castellanos
1988

17arctan(1/22)+3arctan(1/172)-2arctan(1/682)-7arctan(1/5357)
9067 M.R.Wetherfield
1980

註　高野喜久雄の公式は，Gaussの公式 π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239) に次の等式を用いて導けます。
    arctan(1/18)-2arctan(1/57)=arctan(46/2253)=arctan(1/49)+arctan(1/110443)
また
    arctan(1/18)-3arctan(1/57)=arctan(369/128467)=arctan(1/348)-arctan(1/812852)+arctan(1/1453603235443)
を用いると，次の5項公式が導けます。
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)

註　π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57) -5arctan(1/239)，π/4=44arctan(1/57)+ 7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) の2式からarctan(1/57)を消去することにより，次の4項公式が得られますが，「項数」は9066で，元の公式より増加します。
    3π/4=44arctan(1/18)-23arctan(1/239)+8arctan(1/682)-16arctan(1/12943)

5項公式

F.C.M.Størmerの4項公式より遅いものしか見つかっていないようです。
発見者が空白のものは，他の公式から導いたものです。
４項公式から導いた公式で，元の４項公式より「項数」が大きいものも掲載していますが，それらは掲載の意味がないかもしれません。
また，②，③を用いることにより同時に導かれる公式で「項数」が大きいものは，発見していても発表していない可能性が大きいと思われます。

                                         π/4の5項公式
項数
発見者発見年

24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)
8041
2015

22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)
8061 A.S.Nimbran
2009

24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-8arctan(1/963375)-4arctan(1/30349818)
8157 松元隆二 2014

22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8638168)-5arctan(1/67922179193)
8168
2015

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)
8174 H.Chien-lih
1995

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812857)-12arctan(1/145361217682)
8211
2014

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73122)-12arctan(1/28872792057)
8216
2015

19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50912)+arctan(1/983133543)
8240 H.Chien-lih
2004

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812882)-12arctan(1/22363952057)
8246
2014

19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50906)-arctan(1/770473317) 8247
2014

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812894)-12arctan(1/15904577057)
8253
2014

22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)
8264
2015

44arctan(1/109)+95arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)-44arctan(1/6826318)
8268 Jörg Arndt 1993

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812732)+12arctan(1/5484485443)
8277
2014

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73126)-12arctan(1/1277627057)
8287
2015

導出法
最良の公式は，松元隆二氏の５項公式から，次の式を用いて導けます。
    2arctan(1/963375)+arctan(1/30349818)=arctan(262/124230441)=arctan(1/474193)+arctan(1/7250363755)
２番目のものはE.B.Escott の4項公式から導けます。
     π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
       =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(3919/4357367)
       =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(561/4845396023)
        =22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)
同様にして
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1114)-5arctan(1/577945)-5arctan(1/56907157318)    項数8318
    π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1085193)-5arctan(1/441844343)    項数8392
などが導けます。また，同じ手法をJörg Arndtの４項公式に用いると
    π/4=17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+5arctan(1/1800)-5arctan(1/11431805)-5arctan(1/88767950079307)    項数8487
などたくさんの公式を導くことができます。
また，高野喜久雄氏の4項公式
    π/4=24arctan(1/53)+20arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)
を変形すると
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)+24{arctan(1/53)-arctan(1/57)}
         =44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/4443)+24arctan(2/1511)
         =44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(369/128467)
となり，この式のarctan(369/128467)において，369/128467が1/348に近いことから，
    arctan (369/128467)=arctan(1/348)-arctan(11/8941377)
と変形でき，さらに arctan(11/8941377) に③を用いて
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812857)-12arctan(1/145361217682)
など，他にもたくさんの5項公式が導けます。
また，
    arctan(369/128467)=2arctan(1/693)-arctan(27/1974289)
と変形でき，さらに arctan(27/1974289) に③を用いて
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73122)-12arctan(1/28872792057)
など，他にもたくさんの5項公式が導けます。
また，arctan(2/1511)に⑤を用いると，公式
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+48arctan(1/1511)+12arctan(1/4443)-24arctan(1/1724900182) 項数8435
も導けます。

松元隆二氏の5項公式
    π/4=19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/43691)-arctan(1/308142)
において
    arctan(1/43691)-arctan(1/308142)=arctan(11/560003)
ここで，arctan(11/560003)は③を用いて次の様に分解でき，合計8個の「兄弟公式」があります。

arctan(1/43691)-arctan(1/308142)
arctan(1/47867)-arctan(1/800982)
arctan(1/50883)-arctan(1/98257354)
arctan(1/50906)-arctan(1/770473317)
arctan(1/50912)+arctan(1/983133543)
arctan(1/50943)+arctan(1/77103332)
arctan(1/54791)+arctan(1/718608)
arctan(1/60119)+arctan(1/332328)

註　F.C.M.Størmerの最良の4項公式の最後の項に，恒等式④を用いると，次の5項公式が得られますが，「項数」は元より増加し8234となります。
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+48arctan(1/25886)-24arctan(1/8672910142057)
同様にして，他の高速な４項公式に対しても，恒等式④を用いれば，5項公式が得られますのが，それらは，元の公式より「項数」が増加してしまいます。

註　arctan(11/8941377) は次の様に分解できます。

arctan(1/97232)-arctan(1/110443)
arctan(1/303932)-arctan(1/485443)
arctan(1/436432)-arctan(1/942443)
arctan(1/702757)-arctan(1/5188568)
arctan(1/734557)-arctan(1/7626068)
arctan(1/810152)-arctan(1/243860443)
arctan(1/810932)-arctan(1/343235443)
arctan(1/811432)-arctan(1/464340443)
arctan(1/812437)-arctan(1/1589563568)
arctan(1/812557)-arctan(1/2235501068)
arctan(1/812732)-arctan(1/5484485443)
arctan(1/812852)-arctan(1/1453603235443)
arctan(1/812857)+arctan(1/145361217682)
arctan(1/812882)+arctan(1/22363952057)
arctan(1/812894)+arctan(1/15904577057)
arctan(1/814057)+arctan(1/549342682)
arctan(1/814481)+arctan(1/406530182)
arctan(1/820682)+arctan(1/85202057)
arctan(1/823862)+arctan(1/60827057)
arctan(1/827057)+arctan(1/47328182)
arctan(1/832057)+arctan(1/35217682)
arctan(1/839857)+arctan(1/25280182)
arctan(1/905182)+arctan(1/7969057)
arctan(1/942682)+arctan(1/5902057)
arctan(1/988382)+arctan(1/4577057)

註　arctan(27/1974289)は次の様に分解できます。

arctan(1/37757)-arctan(1/78068)
arctan(1/66432)-arctan(1/726123)
arctan(1/71557)-arctan(1/3343768)
arctan(1/72909)-arctan(1/25051068)
arctan(1/73013)-arctan(1/49063568)
arctan(1/73117)-arctan(1/1110416068)
arctan(1/73122)+arctan(1/28872792057)
arctan(1/73126)+arctan(1/1277627057)
arctan(1/73130)+arctan(1/653302057)
arctan(1/73182)+arctan(1/88912257)
arctan(1/73657)+arctan(1/10063682)
arctan(1/74482)+arctan(1/4004057)
arctan(1/75782)+arctan(1/2083057)
arctan(1/77057)+arctan(1/1431838)
arctan(1/85217)+arctan(1/515182)
arctan(1/92682)+arctan(1/346473)
arctan(1/103862)+arctan(1/247057)
arctan(1/133242)+arctan(1/162057)

6項公式

私の確認した限りでは，上位8つは次のもので，「項数」6781と6796のものは既にMichael Roby Wetherfieldが発見していたようです。
特に，「項数」6646の世界最良のものは未発見だったようです。（2015年11月23日）
私が調べた範囲では，分子が1であるものでは，この公式が「項数」が最小の arctan系の公式です。

                                                                   π/4の6項公式
項数

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
6646

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
6781

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/4841182)+34arctan(1/7939642926390344818)
6796

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256745)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/3158814733307)
6820

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256744)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/3158812219818)
6820

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/88272)+22arctan(1/593461)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
6933

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256745)-22arctan(1/7167807)-12arctan(1/3158814733307)
6955

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256744)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/3158812219818)
6955

なお，「項数」6955の2つは，松元氏のご指摘により誤植があることが判明したため，2016年9月27日に訂正しました。

導出法
松元氏が発見した6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1258307)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/1012077057)
の arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)=arctan(2/2513489) に恒等式⑤を用いると
    arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
と分解でき，次の世界最良の6項公式が得られます。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
また，arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)=arctan(2/2513489) に③を用いると，たくさんの公式が得られます。上位2つは次のものです。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256745)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/3158814733307)
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256744)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/3158812219818)

同様に，松元氏の発見した6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1258307)-22arctan(1/7167807)-12arctan(1/1012077057)
の arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057) =arctan(2/2513489) に③を用いても，たくさんの公式が得られます。また，arctan(2/2513489)に⑤を用いると，「項数」6781のMichael Roby Wetherfieldの公式が得られます。

Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih にある公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-12arctan(2/2513489)-22arctan(2/18280007883)
が分子が2の公式では最良なようです。分子が2の項は，恒等式⑤により
   arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
   arctan(2/18280007883)=2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
と変形でき，
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)
が得られます。この7項公式の「項数」は6704です。
また， arctan(1/103697)+arctan(2/18280007883)=arctan(17/1762829) に③を用いると，6項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/88272)+22arctan(1/593461)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
が導けます。

Michael Roby Wetherfield & Hwang Chien-lih にある公式
   π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-34arctan(2/2513489)+22arctan(1/4841182)
を公式⑤により変形すれば，「項数」6796の公式が得られます。

註等式
    arctan(1/110443)-arctan(1/4841182)=arctan(303/34245479)=2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057) …⑥
が成り立ち，これにより，約150の「項数」を削減できます。例えば黄見利の公式
    π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)+12arctan(1/110443)-12arctan(1/4841182)-100arctan(1/6826318)
に⑥を用いると
    π/4=183arctan(1/239)+32arctan(1/1023)-68arctan(1/5832)+24arctan(1/225443)-100arctan(1/6826318)-12arctan(1/42483057)
が得られ，「項数」は7412です。
また，Amrik Singh Nimbran の公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/4443)+34arctan(1/5726)-5arctan(1/110443)+5arctan(1/4841182)-34arctan(1/1737720807)
に⑥を用いると
    pi/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/4443)+34arctan(1/5726)-10arctan(1/225443)+5arctan(1/42483057)-34arctan(1/1737720807)
が得られ，「項数」は7296です。
また，「項数」6796のMichael Roby Wetherfieldの6項公式に⑥を用いると，世界最良の6項公式が得られます。
19,454.33
註　arctan(2/2513489）は次の様に分解できます。

2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)
arctan(1/280182)-arctan(1/360568)
arctan(1/373932)-arctan(1/532318)
arctan(1/898932)-arctan(1/3157318)
arctan(1/933282)-arctan(1/3626068)
arctan(1/1061432)-arctan(1/6829818)
arctan(1/1080182)-arctan(1/7688568)
arctan(1/1185182)-arctan(1/20813568)
arctan(1/1192052)-arctan(1/23157318)
arctan(1/1217682)-arctan(1/39176068)
arctan(1/1221432)-arctan(1/43469818)
arctan(1/1242432)-arctan(1/109094818)
arctan(1/1243806)-arctan(1/120813568)
arctan(1/1248932)-arctan(1/200907318)
arctan(1/1249682)-arctan(1/222376068)
arctan(1/1253882)-arctan(1/550501068)
arctan(1/1255182)-arctan(1/1009563568)
arctan(1/1255332)-arctan(1/1116907318)
arctan(1/1256172)-arctan(1/2757532318)
arctan(1/1256432)-arctan(1/5052844818)
arctan(1/1256462)-arctan(1/5589563568)
arctan(1/1256630)-arctan(1/13792688568)
arctan(1/1256682)-arctan(1/25269251068)
arctan(1/1256688)-arctan(1/27952844818)
arctan(1/1256732)-arctan(1/126351282318)
arctan(1/1256742)-arctan(1/631761438568)
arctan(1/1256744)-arctan(1/3158812219818)
arctan(1/1256745)+arctan(1/3158814733307)
arctan(1/1256747)+arctan(1/631763952057)
arctan(1/1256757)+arctan(1/126353795807)
arctan(1/1256801)+arctan(1/27955358307)
arctan(1/1256807)+arctan(1/25271764557)
arctan(1/1256859)+arctan(1/13795202057)
arctan(1/1257027)+arctan(1/5592077057)
arctan(1/1257057)+arctan(1/5055358307)
arctan(1/1257317)+arctan(1/2760045807)
arctan(1/1258157)+arctan(1/1119420807)
arctan(1/1258307)+arctan(1/1012077057)
arctan(1/1259607)+arctan(1/553014557)
arctan(1/1263807)+arctan(1/224889557)
arctan(1/1264557)+arctan(1/203420807)
arctan(1/1269683)+arctan(1/123327057)
arctan(1/1271057)+arctan(1/111608307)
arctan(1/1292057)+arctan(1/45983307)
arctan(1/1295807)+arctan(1/41689557)
arctan(1/1321437)+arctan(1/25670807)
arctan(1/1328307)+arctan(1/23327057)
arctan(1/1433307)+arctan(1/10202057)
arctan(1/1452057)+arctan(1/9343307)
arctan(1/1580207)+arctan(1/6139557)
arctan(1/1614557)+arctan(1/5670807)
arctan(1/2139557)+arctan(1/3045807)
arctan(1/2233307)+arctan(1/2874057)

7項公式

7項公式は，私の確認した限りでは最良の6項公式より遅いため，どこまで意味があるか疑問ですが，10個の公式を掲載します。 (2015年11月～12月)
これらは，6項公式を変形して得られるもので，他にもたくさんあります。なお，最良のものはMichael Roby Wetherfieldが発見しました。

                                                                   π/4の7項公式
項数

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)
6704

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772000)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/11138408110872884772003)
6743

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772001)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/5569204055527841544002)
6747

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772002)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/2227681622247696280801) 6751

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113021)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/33366019650)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/43599522992503626068)
6775

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103695)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/13056896655)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/1193377851828508219837)
6784

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103699)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/3385251935)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/309418127908988342167)
6822

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103698)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/4940590314)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/22028024592239441243)
6827

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103693)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/3808188073)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/69611022720637564057)
6827

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113033)-68arctan(1/2513489)-22arctan(1/1099678758)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/85134253302968469818)
6849

導出法
6 項公式    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)
においてarctan(1/105218)+arctan(1/7167807)=arctan(17/1762829) を3つに分解する等式はたくさんあり，上位4つを示すと
    =arctan(1/103697)+2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
により約77
    =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772000)-arctan(1/11138408110872884772003)
により約38
   =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772001)+arctan(1/5569204055527841544002)
により約35
   =arctan(1/103696)+arctan(1/60932772002)+arctan(1/2227681622247696280801)
により約30の「項数」を削減できます。

また，6項公式    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/4841182)+34arctan(1/7939642926390344818)
に対し，次の等式により約20の「項数」を削減できます。
    arctan(1/110443)-arctan(1/4841182)=arctan(303/34245479)=arctan(1/113021)-arctan(1/33366019650)+arctan(1/43599522992503626068)

註1　世界最良の6項公式に，恒等式④を用いれば，次の「項数」が6728.7…の7項公式が得られます。
    83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+68arctan(1/15879285852780689636)-34arctan(1/2001994613678354896260473080240048507073548373974000280182)…⑦

註2　整理すると，次のようになります。
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
において
    arctan(17/1762829)=arctan(303/34245479)+arctan(2/2513489)
が成り立つので
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(303/34245479)-34arctan(2/2513489)
分子が1でない項は次のように分解できます。
    arctan(17/1762829)=arctan(1/105218)+arctan(1/7167807)=arctan(1/103696)+arctan(1/60932772000)-arctan(1/11138408110872884772003)
    arctan(17/1762829)=arctan(1/103697)+arctan(2/2513489)=arctan(1/103697)+2arctan(1/18280007883)-arctan(1/3054211727257704725384731479018)
    arctan(303/34245479)=arctan(1/110443)-arctan(1/4841182) =2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057)=arctan(1/113021)-arctan(1/33366019650)+arctan(1/43599522992503626068)
    arctan(2/2513489)=2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)

追記　2022年8月に「項数」がそれぞれ6510，6787の次の7項公式を導きました。
    π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/142057)-arctan(1/99368343)-arctan(1/54838715017299308)-arctan(1/88942800178226109582168404411725)+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)}…①
    π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/47321)+2{-arctan(1/579193)+arctan(1/379904019)+arctan(1/1444089384107)+arctan(1/13477229658707402207)+arctan(1/565967822072453434714011698273003594)}
なお，①式の最後の2項は次のように分解することもでき，「項数」はそれぞれ，6526，6540，6569，6570です。
-arctan(1/88942800178226110039678482265196)-arctan(1/17291032675987868976104470682755955240595707328793)
-arctan(1/88942800178431128109194637122753)-arctan(1/38585886935720135731150586181922911980271688)
-arctan(1/89118365719377625748571846662593)-arctan(1/45148022455887426238746087403624904)
-arctan(1/88667864543246944193996749309058)+arctan(1/28684416113966679967900930307436827)
また，①式の最後の3項は次のように分解することもでき，「項数」は6579です。
-arctan(1/54838715017646193)-arctan(1/8668554618183484128604034012)-arctan(1/80124280748656904705190407102164400448)

公式についての定理

定理

「項数」6773未満の公式が無数に存在する。

証明

　7項公式⑦の最後の項に恒等式④を用いて，8項公式を作る。さらに，得られた8項公式の最後の項に④を用いて9項公式を作る。これを繰り返すことを考える。
このとき，arctan(1/n)=2arctan(1/2n)-arctan(1/(4n^3+3n)) において，
    5000*(1/LOG10(2n)+1/LOG10(4n^3+3n)-1/LOG10(n))＜5000*(1/LOG10(n)+1/LOG10 (n^3)-1/LOG10(n))＝5000/(3LOG10(n))
ここで，n＝2001994613678354896260473080240048507073548373974000280182 のとき
    5000/(3LOG10(n))＝29.08…
すなわち，7項公式から8項公式を作るとき，「項数」の増加量は 5000/(3LOG10(n)) 未満である。
さらに，このようにして作った8項公式の最後の項において 4n^3+3n＞n^3 であるから，8項公式から9項公式を作るときの「項数」の増加量は5000/(3LOG10(n))/3 未満に抑えられる。
したがって，8項公式，9項公式，10項，……と公式を次々に作っていくとき，「項数」の増加量は，等比数列の和の公式を用いて
    5000/(3LOG10(n))×（1＋1/3＋1/9＋……）＝5000/(3LOG10(n))×1/（1－1/3）＝2500/(LOG10 (n))＝43.6…
未満である。ゆえに，次々に作られる公式の「項数」は
    6728.7…＋43.6…＜6773
と抑えられる。
したがって，「項数」6773未満の公式が無数に存在する。
□

註　正確に計算すると，「項数」は6771.7未満となります。

円周率を求める新方式の逆正接の公式
arctan(1)を分解する定理が成り立ち，そのような公式を求めるアルゴリズムが存在します。

arctan(k/(kn+m))-arctan(1/n)=arctan((k/(kn+m)-1/n)/(1+k/(kn+m)・1/n))= arctan(-m/(k・n^2+mn+k)) より，次の公式が得られる。
     arctan(k/(kn+m)) =arctan(1/n)-arctan(m/(k・n^2+mn+k))
分解定理
    特に，k，nを1でない自然数，mを－k/2≦m≦k/2 を満たす整数としてこの公式を繰り返し用いると，遂には分子が1になるから，任意の項が分子が1の項の和に分解できる。
    (0≦m<k としても良いが，分解したときに項の数が多くなる。)

例　 arctan(2/(2n+1))=arctan(1/n)-arctan(1/(2n^2+n+2))
    arctan(3/(3n±1))=arctan(1/n)∓arctan(1/(3n^2±n+3))     (復号同順)
      arctan(7/25)=arctan(7/(7･4-3))=arctan(1/4)+arctan(3/(7・4^2-3・4+7))= arctan(1/4)+arctan(3/107)=arctan(1/4)+arctan(3/(3・36-1))=arctan(1/4)+ arctan(1/36)+arctan(3/(3・36^2-36+3))=arctan(1/4)+arctan(1/36)+arctan (1/3855)

さらに，arctan(1)-m×arctan(1/n) の値がいくらでも0に近いような自然数m，nが存在し，かつ，s，tを自然数としてarctan(1)-m×arctan(1/n)=arctan (s/t) と表されることより，次の定理が成り立ちます。

定理    「項数」がいくらでも0に近い(小さい)公式が存在する。

実際に，この定理を用いてπ/4の公式を導きました。
ただし，「項数」が小さな公式を求めようとすると，項の数が多くなり，項の分母の桁数が2倍，2倍……と大きくなるため，分母が巨大な整数になってしまい，最後まで分解することは不可能です。
また，世界記録に挑戦するときの計算法（Binary Splitting Algorithm）では，「項数」が同じでも項の数が多くなって分母が巨大になれば合計の計算量は増大するため，「項数」は計算速度の指標とはなりません。
なお．下記の例は，「項数」よりも項の数が出来る限り少ないものを選びました。項の数が多いので，他に「項数」がほぼ等しい沢山の兄弟公式があり，項の数が多くて良いのならば「項数」がより少ないものもあります。

例1   arctan(1)-11arctan(1/14) =arctan(5984041155/5889508020409)
        が成り立ち，分解により次のような7項公式が得られ，「項数」は7475です。
π/4=11arctan(1/14)
+arctan(1/984)
-arctan(1/4783464)
+arctan(1/28639352912923)
+arctan(1/186175866756211806588089288)
-arctan(1/2103217884802619596212330142227649062114903902506875192253)
+arctan(1/932526991174003265598535031975584917413629275661541490381224915116428693928576928483478183040730179115518295394547)
また，次のような8項公式も得られ，「項数」は7466です。
π/4=11arctan(1/14)
+arctan(1/984)
-arctan(1/4783465)
-arctan(1/113812563600136)
-arctan(1/28234380329157461108325915698)
-arctan(1/5384769390251046090811817506459762283920625341105588544516)
+arctan(1/51606142936505007297938587328675455731066404605899882715290485343039739582429000290095411998188757248835925053588)
-arctan(1/237423404407522624650542726538377388688437866964378268994604990882708824937244853278275380452056198590543964309734066678558508005908705570943352978468546695071300321346184166370015514897165816070399673662935097845757944602756)

例2   arctan(1)-22arctan(1/28) =arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
       が成り立ち，分解により次のような14項公式が得られます。分子が1の公式では，「項数」は5460で世界最小ですが、項の数が多く分母が巨大になるため，最速の公式ではありません。(2016年8月20日に項の数を減らして14項公式に改良)
π/4=22arctan(1/28)
+arctan(1/56547)
+arctan(1/20747394343)
+arctan(1/1112172624652580034840)
-arctan(1/16659543628852678157467292276729792021493732)+……    data28.txt

また，次のような「項数」が5563の13項公式も得られます。（最後の項は，恒等式⑤を用いると2項に分解できます。 2017年1月1日）
π/4=22arctan(1/28)
+arctan(1/56547)
+arctan(1/20747397682)
+arctan(1/128902231529942862)
+arctan(1/155663516564154499911365810670807)
-arctan(1/8338038108172530710446775472537492112028238331089094453077693)
+arctan(1/480467391576046702900994839166069253959268551108072843002256824602973993945345278133507130619187402250695582961216184580)
-arctan(1/18934433146039841630930601625313796066262308208601115961164519184959777532171904331563854026961431882273993583034797470487272361727977839223664548450062835740792327043414576730598994636681210403719137232364762461201694211856300385049717943)
+arctan(1/688786284982127797814497338399438902350888715233129410511112147651796827768280567114977611214779249836225220518264727673689730186556167438378420835643208427010233618768998116644185772526493478281123649253364764093886980887091121258177133991449690993256287580965225629644681848371671327348189247506585464875278579928099614126423061663863636871939108242796821705188033651070997463884150266789100471340928625307900701909683225641437185244864838123491041969013239555628123109841)
+arctan(1/1305301797503526321387003220042262630743931062112880762288429167428593135208633907167706273850594221716644461747700117445246698179917454480952611177711085993751502587742594609451330993971876971231862940662990695430897380123661580132524442260487176148882873989085586537933048172219230924467077652737154885260696627027660314102427318339149033781717248915266526583265750671714911455854086328198642241033515294155727316079255011240743198884882962183030284454445990902450368776402969918116327107140624701397426560145060029223380901541070250335765270136545252353195208974676876056738949372921055073474679546598948205308411735010889638886189439776394269887310879616928492464523059320003802303896436039356887438357870848696537545567030024561499257455808288013302154488944070361593956470056201449486687768621472884493927736286806883474155633813584655331074569406286637660735752411203031980654976086068346292821148242064851392964852130651763091069371763982)
-arctan(1/473436305894795529338853492025520650562873792141124102869488264818803490947085418477010968859559025431781781161180971278542708890974125561432395601721049614342391076296645591577224030307463976310485077916942565859736604853350599639992616509344713017524552249868982495092044210485861640588184503582963678330066139619487118912496615428149482865054681627166902860265209443701459641220352573337493047818142857869987423813502566236509488558285072480625228720573049843356054048030762955460956233248866123977854561352773247280172526893887640155361600104891554867516890299110960850932769109898871403496590118872012895890131015059229057898753704452521856321121282830897552008135080021132320445270494631325658766083015877722880855390495672246082102250266762789396234055594486233023838129050065909694468033238815242140467631085809654094544768715479481994439357412598841129644659079743486061644774359793086501548253644199465272457535523482112216151095537565188443573064263244482769749705552153377101126176703971171041404162271276604373453923563973164278764944479577394934509866558607075804266462754038642644760157492548943425928896825515351571153210136652069020758579001611270068013835186740411258608033595535611441322212326982787291010174226018969241988902751439615834431462912145016945334655007095480679754515955833611212596139743852838675449234200240576861108269290511795404119367129859238378632437552584048816977179085060922059637856838675763671483257755553415713560628597952787868317715177713238483460933469679821980384270518283294639961209727043937263870363080846798267888554569754070937929136545412132173635051017278842412204166089207603329687569607271778901505943524025500071825945598331672799984697128924041588831185213453023234822169190345173040916347986717145263973209674926766749071340022613599790194481239816877194209500439102880987823719486482668263837538481318203271111871538446768972)
-arctan(2/31123483102105175097733896718840842015356584028314501085901539774694002285046156080645958497543118907840789854296003303540556147435733768645771070643209672818878478375086986544530113327681205796663255139883716593534670760641941153756726951170791217302828266428268891497580887425709445744457276932443765870800427715598970151526201517345902768360854655147763397384427969118978131529632051233369745182229522983237607256846202913068977197628167150594286284402435223200875868731105429085779529360106648610412463679927152106725994973561586881975300184686262739026521775048274948568443732857795315726853611817479644794483100387298097158945672868721841203630420947367603227812894546011454846386330880022918973903154502758165384891170658515542353738297425590565411034628846261126469620684873691148691189906571718361130850202869819693887644677863588417091413403200611330657948831795282818055645648945342013474452026721484671957464143334830677247165627083616329223514800944053001167040758429824149636639141743512161683905494717125962822035831791298587501325353642926112406692933357294862371203351304605825823955662129060289864033079325477277515667886276588329326041058196039835664437957897391118485194765832495229204080090120227993308176360903692417648059154717923332711169760253437241157943668617479456918696440059805303104653469017689653011903527895679195605388127584399500356694655912645936229516870144668114135662643413568674769338023545394851327782931692944146585137940899480411137374779056500065458880014534698351297309332445730553896364247588537178836496021113492894470208741086844481907538897493683346387526863771857936915296004391681026449361899463905736903763137605551670507295721410475438799225928153181449936732918202341278333485273193460714043993406836892268249527480692176958625931524103633228830966122356783579355280496461689098856355790803823884724953259512069051563988588562007040907655345362137912631241251017573578580727067279184158913278048921899626728161284225694465814449078620001554726548901286128555938466771851036974667814088277422676696337876603241341835397222736949286210235570720696183628368742317735071801356092851942596366452408756247031055176353737074194189299046193803463313814567840774037189030019653364153649285623982436628866648504678614372731638419244426024971443212231361522863774272033399573823204614117116713039917948672338474707002992912610315043650876927652820543202889951635792450452496768007249885432782431000157038877111158144257822859532138580079985327487056254249511343515745435815927838434973837157188135615254445734938479734776918755347512781336214538872607560472145166258713503362612850476265696152514717791414458667552569171373785390844346994712425861517823753681917038779500126305616569453698110569446587354912269492518615461096896922164229844589250367021082922926376073229592895161306070313297319879222957507053715021605101177184837272159990191671818384577778793486675094403259746034217422830986787410104572400139980297488223914860808651432626827238678961476147124016381452009270628504938905394836404375023315818637443655137651263850818709207543822709313936473415422770468056945647681790102493573464251516048911116901768598561238738989630261936662053185970972148408154466615294018997424376510599653795300402654687652095497452397524940482940048351268758599398495893861992886136413265104244451703955832780473171141356908285274186294126889358997720223646942549600487578926336601943672071195340953803705019297844824600254138685661693644593968866087010147023323729781197650516813647290669859119271387492744041462795779562035909412049022242062720966113942754759623020381404805184939584226122001314402372113078694495371995965323389693371011052954696030664532902597843227750853418810444151319468834097591814111793316731184761071155573649031)

例3 E.B.Escottの公式を次のように変形します。

π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)
    =22arctan(1/28)+2(arctan(1/443)-2arctan(1/1393)-arctan(1/(1393*2))-5arctan(1/11018))+arctan(1/10812186007)
      =22arctan(1/28)+2arctan(1826361351951187/206551028046998804159)+arctan(1/10812186007)
分子が1でない項を分解することにより，次のような8項公式が得られ「項数」は6047です。(2016年12月 25日)
π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113091)
-arctan(1/3895518568)
+arctan(1/629300100535257682)
+arctan(1/3908794630494399376312997032077)
+arctan(1/2826309607900568565641613414850546664107508798258619099)
-arctan(1/9355551928344973308672677302161189493689419576030500548470229574122617811231223535344986234612178957369478))

また，次のような9項公式が得られ「項数」は5927です。(2016年10月9日)
π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113092)
-arctan(1/5601699965)
+arctan(1/1083674151782230257959)
+arctan(1/83353394080057690599638925946766008813507)
+arctan(1/44159448209580290514941494896167025656277139243341445194174000052430677850316307)
+arctan(1/117613589295847139673856801303891702263375697588071131406073283560440761605562833357261461386606135153923938744384133754651080417916978130580171920423955569)
+arctan(1/145246042064048193159976410900248855439091624279477601836073438854546763368373864743937849345536534875364451213492682521386407657462519150435335876865553621749344336784286405591331625883502540222627065488068610945581020772909913527423590345142964502963228430325050989960500442663270898350263886996952566680238932))

また，E.B.Escottの公式を次のように変形しても9項公式が得られ，「項数」は5839です。(2016年 10月16日)
π/4=22arctan(1/28)+2(arctan(1/443)-3arctan(1/1393)+arctan(1/(1393*2))-5arctan(1/11018))-arctan(1/10812186007)
=22arctan(1/28)+2arctan(6457230025522026/730268162965427523107)-arctan(1/10812186007)
=22arctan(1/28)-arctan(1/10812186007)
+2(arctan(1/113093)
-arctan(1/127512137874)
+arctan(1/39607459902580216106307)
-arctan(1/7061522233235689255725231071663715115695328)
+arctan(1/10486631320854991392232831568340090082541694282525351757667059391809990997765309021)
+arctan(1/82196950554656533128604331781786647724535745427534755760994665875961196200941351390954750726224418488112109444583799954171398373336018851114123630259983350135006)
-arctan(1/1044329610045537687475273636184832970888152768287756220414845677774687731484005759572818119800312941679867142823730101516247129424982871583369968696900268745881658491626530063322540026176621137187443783573859683152055203326676189543778576923410372296918643698117712725294398219743005667378690081906177663821783157922943))

また，次の様な「項数」が7140の8項公式と，「項数」が6827，6846の9項公式も得られます。
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)+arctan(1/5515002927)+2(arctan(1/89673)-arctan(1/10264952556)-arctan(1/78325993428040874667)-arctan(1/33337277597253974055981237698374532581))
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)+arctan(1/5500151048)+2(arctan(1/109510)-arctan(1/1139779431228)+arctan(1/58554835530668445191860)-arctan(1/370677189710554857716656518367655029768509924279)+arctan(1/618307105372716042370343696574764066759530696910723453651067622338180494852353363567682921438568))
π/4=22arctan(1/28)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)+arctan(1/44837)+arctan(1/4251637668)+arctan(1/1010284816200424588)-arctan(1/15000245024549485022909289057369489919)-arctan(1/83418285192108858342089096119709721814957020923245960073380868251308387)+arctan(1/443584503530631183632190875014588825306130640926675628762566460322190308633422471668323979102846589604122035378762678029077779935617416656)

例4 John Machinの公式π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)において，arctan(1/5)は次のように12項に分解できます。これを用いた13項公式の「項数」は6941です。
    arctan(1/5)=15arctan (1/76)+arctan(1/25955)-arctan (1/2158154547)-arctan (1/43189998247414377443)+…… Machin.txt
また，
    π/4=4arctan(1/5)-arctan(1/239)＝4(arctan(1/5)-8arctan(1/239))+31arctan (1/239)
    =4(10arctan(1/61)+arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357))+31arctan(1/239)
    =40arctan(1/61)+31arctan(1/239)+4arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357)
と変形し，
    arctan(18694125035232128866753631935/5825977784334188992070488484638357) ＝arctan(1/311647)-arctan(1/185280101237)+……    Machin2.txt
と分解すると，「項数」6697の14項公式が得られます。(2016年11月24日)

例5 松元隆二氏の「項数」が8643の5項公式は，「項数」が6510の7項公式に変形することができます。 (2022年8月4日)。
        また，「項数」が5957の8項公式と，「項数」が5882の9項公式に変形することができます。 (2022年9月1日)
π/4=22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-10arctan(1/2226)+5arctan(1/275807)-10arctan(1/439628)
=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/443)-5arctan(1/2226)+2arctan(1/275807)-5arctan(1/439628)}
=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2arctan(1466625710157/208642724182192949)
=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/142057)-arctan(1/99368343)-arctan(1/54838715017299308)-arctan(1/88942800178226109582168404411725)+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)}

π/4=22arctan(1/28)+5arctan(1/275807)+2{-arctan(1/4502818)-arctan(1/6517800704875)-arctan(1/9212471014481931704011)-arctan(1/70704459948507372717310039576656818087737)-arctan(1/53420185531159128719655111112144347023483942391845430509956110327549762277736829478)-arctan(1/23978789914814865470102987572115910060409457104099281275234313793187735578982987169420481383209834503671373460415550258684361268884108839901249801109245130492532)}

π/4=22arctan(1/28)+5arctan(1/275807)+2{-arctan(1/4502815)-arctan(1/183045833402477)-arctan(1/9517564323929253577239268)+arctan(1/14772595232468914851591427268624513055640546474)-arctan(1/12849493180345339251393355602515831842122676462870948882170137144263386672676062977929062955)-arctan(1/200248746218018889832459814038812851807236351086362074799534568836767470745486571785726032960236367077638882469745597250315356215581676474285626039598574513256387034936837831681169)-arctan(1/145580490064423143280988461134091862718477032956098538046827294293008895434092916202399079859322574378559672894397757681113508195328279648765095250194929867143905257224467106053184960274851419132725407991456546231646633199244368571683586103857223587617653095608716327940411410760590586610681520280213285834844296856120980931730131810976445080062990657941)}

次のような変形を用いると，公式がさらに得られます。   π/4のarctan公式の性質
    arctan(1)=arctan(1/n)+2arctan(p) (nは絶対値が1より大きい整数，pは有理数) 　…①
nは広義のペル方程式 n^2-2m^2=-1 (n，mは整数) の解となり，1より大きいnの値は次のようになります。
    n=7，41，239，1393，8119，47321，275807，1607521，9369319，54608393，318281039， 1855077841，10812186007，63018038201，367296043199，…… 　　…②
このとき，p=(n-m)/(m+1)　ただし，0<p<1から，mはnと同符号です。
n，mの値は，次の隣接3項間漸化式により求まります。
    n₁=1，n₂=7，m₁=1，m₂=5
    n_i+2=6n_i+1-n_i，m_i+2=6m_i+1-m_i ( i=1，2，3， … )
n，pの値を求める十進BASICのプログラムは次のようになります。

OPTION ARITHMETIC RATIONAL
LET n1=1
LET n2=7
LET m1=1
LET m2=5
FOR i=1 TO 20
   PRINT n2,(n2-m2)/(m2+1)
   PRINT -n2,(-n2+m2)/(-m2+1)
   LET n=6*n2-n1
   LET m=6*m2-m1
   LET n1=n2
   LET n2=n
   LET m1=m2
   LET m2=m
NEXT i
END

一般的に，π/4の公式には次のような性質があります。
    Ⅰ　係数の少なくとも一つは奇数である。
    Ⅱ　係数が奇数である項がただ一つである公式では，係数が奇数である項は「奇数の係数×arctan(1/②)」となる。
    Ⅲ　arctan(1/②) が現れない公式には，係数が奇数の項が二つ以上ある。
    例　F.C.M.Størmerの公式 π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943) は，係数が奇数である項がただ一つあり，それは 7arctan(1/239) である。
          Jörg Arndtの公式 π/4=17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+10arctan(1/5118)+5arctan(1/6072) の係数が奇数である項は 17arctan(1/23)，5arctan(1/6072) の2つある。

①の変形を利用して得られる下の式は，「項数」がそれぞれ6787，6211，6428，6490，6242，6000の7～9項公式です。(2022年8月～9月)

π/4=arctan(1/47321)+2arctan(70/169)=22arctan(1/28)+arctan(1/47321)+2{-11arctan(1/28)+arctan(70/169)}
=22arctan(1/28)+arctan(1/47321)+2{-arctan(1/579193)+arctan(1/379904019)+arctan(1/1444089384107)+arctan(1/13477229658707402207)+arctan(1/565967822072453434714011698273003594)}
=22arctan(1/28)+arctan(1/47321)+2{-arctan(1/580078)-arctan(1/853473111369)-arctan(1/548223916312830435599838)+arctan(1/97658939341719321448353629406962230521311896727)-arctan(1/36157804753578158697133753065199198902582945453082387211919218924549781412080824952420566318)-arctan(1/334068843219041975685182868690458915374973188259781071528156805773520191954311516716670767384581177589339617782933303990262578559603674668423946569018316645933043311883175738568)}

π/4=-arctan(1/9369319)+2arctan(985/2378)=22arctan(1/28)-arctan(1/9369319)+2{-11arctan(1/28)+arctan(985/2378)}
=22arctan(1/28)-arctan(1/9369319)+2{arctan(1/112227)-arctan(1/67024584)+arctan(1/5240623545782657)-arctan(1/81836006019422874014582872106)-arctan(1/108082597780643631303984005910478614620159654162336540317)-arctan(1/659591344884835190284045033701417300675530537499291089890562007179447120366955796090202469724283667423547943)}

π/4=arctan(1/54608393)+2arctan(2378/5741)=22arctan(1/28)+arctan(1/54608393)+2{-11arctan(1/28)+arctan(2378/5741)}
=22arctan(1/28)+arctan(1/54608393)+2{arctan(1/112227)-arctan(1/12912943)+arctan(1/119555040781467)+arctan(1/183998466733800047612462807)+arctan(1/987025504038067146303305374962800463907144800292057)-arctan(1/555006968718307085456922690926644207221515138034163455767692842234369718458780779066876394680917)}

π/4=-arctan(1/367296043199)+2arctan(195025/470832)=22arctan(1/28)-arctan(1/367296043199)+2{-11arctan(1/28)+arctan(195025/470832)}
=22arctan(1/28)-arctan(1/367296043199)+2{arctan(1/112227)-arctan(1/14644674)+arctan(1/590441519363893)-arctan(1/79974362413041653134174664992)-arctan(1/459266672557287351077159781639927520198887094166956108568)+arctan(1/216477375960246374277382653148680549649271273226444048134627355777862948713161755124894504141744173753010056524317)+arctan(1/25523703073593405142830135611937188251527351144567024980981689347309864624404363574867783544474218408215536953403614318327029525412302649006590629477628381873053913500607809092379767972160156302774107398668914911410827057)}

π/4=arctan(1/367296043199)+2arctan(275807/665857)=22arctan(1/28)+arctan(1/367296043199)+2{-11arctan(1/28)+arctan(275807/665857)}
=22arctan(1/28)+arctan(1/367296043199)+2{arctan(1/113105)+arctan(1/1132908675)+arctan(1/131783869626363057)+arctan(1/8535054779270910953773509532850982)+arctan(1/3147423251371115524942989758019306663798334912740024969567896308899)+arctan(1/6498471884233254876247571884690729743403760559813090383801391809134775961414032182976386771081679052016949814047222827406205160370457)-arctan(1/3968715562669524668632678766864140954901081329339112142417770558824851449210324953930144634152662886959948757034861884124934364746285994467912559509045495040269823913830350399650389319691286259029273528737117431929125092136076676066418759094865891618995690724818)}

次のようにすると「項数」はさらに小さくなりますが、完全に分解するのは難しくなります。

「項数」を4000未満にするには，arctan(1)-183arctan (1/233)=-arctan(1/210989)-arctan(1/142403798304)+… と分解すればよく，「項数」は概算で3936です。data233.txt
「項数」を3000未満にするには，arctan(1)-1420arctan (1/1808)=arctan(1/74639440)+arctan (1/16608949685609163)+…… と分解すればよく，「項数」は概算で2771です。data1808.txt
「項数」を2000近くにするには，arctan(1)-26087arctan(1/33215)=arctan(1/6476921118)- arctan(1/164487217275509080318)+…… と分解すればよく，「項数」は概算で2105です。data33215.txt
「項数」を2000未満にするには，arctan(1)-52174arctan(1/66430)=-arctan(1/42405894790)- arctan(1/4208737561796997835755)+…… と分解すればよく，「項数」は概算で1965です。data66430.txt
また
    π/4=arctan(1)=5419351arctan (1/6900132)- arctan(1/26614652901710482)-arctan(1/6890551583703954308124209273615176)+……
と分解できれば，「項数」は1340程度に成りそうです。

正計算と検証計算のペア公式

1961年にジョン・レンチとダニエル・シャンクスが10万桁まで正計算と検証計算をした，F.C.M.StørmerとKarl Friedrich Gauss(ガウス）の公式のペアです。
    π/4=6arctan(1/8)+2arctan(1/57)+arctan(1/239)
    π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
これらの公式は分母が同じ項が2つあるため，正計算の結果が検証計算に使えて効率的です。
正計算と検証計算における「項数」の和は，計4項で14470です。

2002年11月に金田康正氏と後保範氏などの方々が1.2兆桁の世界記録を達成するのに用いた，次の高野喜久雄氏とF.C.M.Størmerの公式のペアは有名です。
    π/4=12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
正計算と検証計算における「項数」の和は，計6項で11880です。

Karl Friedrich Gaussの公式とF.C.M.Størmerの公式
    π/4=12arctan(1/18)+8arctan(1/57)-5arctan(1/239)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計5項で11913です。

Jörg Arndtが1993年に発見した「項数」8741の公式と松元隆二氏のウェブページにある公式
    π/4=88arctan(1/192)+39arctan(1/239)+100arctan(1/515)-32arctan(1/1068)-56arctan(1/173932)
    π/4=44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/515)+12arctan(1/1068)-12arctan(1/173932)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計6項で11589です。

F.C.M.Størmerの公式
    π/4=88arctan(1/172)+51arctan(1/239)+32arctan(1/682)+44arctan(1/5357)+68arctan(1/12943)
    π/4=44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計6項で11508です。

他にも以下のような「項数」の和が小さいペアがありますが、合計の項の数が増えてしまうため、計算時間は短縮しないと思われます。
幾つかの正計算と検証計算のペア公式を見つけましたが，ほとんどがM.R.Wetherfieldのウェブページに既にありました。

次の6項公式と5項公式
    π/4=83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)
    π/4=11arctan(1/15)+6arctan(1/107)-5arctan(1/1710)-2arctan(1/2513489)+arctan(1/7939642926390344818)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計7項で10897です。また，
    π/4=72arctan(1/107)+11arctan(1/239)+44arctan(1/580)-16arctan(1/1710)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
を用いると，正計算と検証計算における「項数」の和は，計8項で10557と成ります。さらに，arctan(1/107)=2arctan (1/122)-arctan(1/239)-2arctan(1/580)+arctan(1/1710)を用いて変形し整理した式
    π/4=132arctan(1/122)-49arctan(1/239)-64arctan(1/580)+32arctan(1/1710)+24arctan(1/225443)-12arctan(1/42483057)
    π/4=144arctan(1/122)-61arctan(1/239)-100arctan(1/580)+56arctan(1/1710)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計8項で10490です。さらに，2arctan(1/239)-arctan(1/122)＝arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)を用いて変形し整理した式
    π/4=215arctan(1/239)-64arctan(1/580)+32arctan(1/1710)-132arctan(1/5827)+24arctan(1/225443)-12arctan(1/42483057)+132arctan(1/1561886607)
    π/4=227arctan(1/239)-100arctan(1/580)+56arctan(1/1710)-144arctan(1/5827)-24arctan(1/2513489)+144arctan(1/1561886607)+12arctan(1/7939642926390344818)
では，正計算と検証計算における「項数」の和は，計9項で9965です。なお，この2公式は，分子が1でなくても良いならば，次のように変形することもできます。
    π/4=183arctan(1/239)+64arctan(1/1710)-100arctan(46/268043)-32arctan(3/145589)+12arctan(303/34245479)
    π/4=177arctan(1/239)+106arctan(1/1710)-94arctan(46/268043)-50arctan(3/145589)-12arctan(2/2513489)
分子が1となるように分解すると
    π/4=183arctan(1/239)+64arctan(1/1710)-100{arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)}-32{arctan(1/48530)+arctan(1/7065434173)}+12{2arctan(1/225443)-arctan(1/42483057)}
    π/4=177arctan(1/239)+106arctan(1/1710)-94{arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)}-50{arctan(1/48530)+arctan(1/7065434173)}-12{2arctan(1/2513489)-arctan(1/7939642926390344818)}
となり，正計算と検証計算における「項数」の和は，計10項で9730です。

松元隆二氏の6項公式
    π/4=127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+88arctan(1/41218)-144arctan(1/173932)+88arctan(1/3539232)
    π/4=127arctan(1/192)+61arctan(1/515)+7arctan(1/1068)-39arctan(1/41218)-17arctan(1/173932)-39arctan(1/3539232)
のペアに⑤を用いて
    arctan(1/41218)+arctan(1/3539232)=arctan(2/81487)=2arctan(1/81487)-arctan(1/270542184406382)
と変形すると，それぞれ6項公式
    π/4=127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+176arctan(1/81487)-144arctan(1/173932)-88arctan(1/270542184406382)
    π/4=127arctan(1/192)+61arctan(1/515)+7arctan(1/1068)-78arctan(1/81487)-17arctan(1/173932)+39arctan(1/270542184406382)
が得られ，計7項で10105です。この2公式の一方は，次の Jörg Arndtの5項公式に換えることができます。
    π/4=88arctan(1/192)+39arctan(1/239)+100arctan(1/515)-32arctan(1/1068)-56arctan(1/173932)

松元隆二氏の6項公式集を検索して，次の3つの公式を見つけました。
    π/4=133arctan(1/239)+182arctan(1/1252)+232arctan(1/2855)+100arctan(1/58898)+62arctan(1/110443)+138arctan(1/4841182)
及び
    3π/4=266arctan(1/117)+147arctan(1/1252)-102arctan(1/2855)+34arctan(1/58898)+53arctan(1/110443)+15arctan(1/4841182)
    3π/4=266arctan(1/122)+147arctan(1/1252)+164arctan(1/2855)+34arctan(1/58898)+53arctan(1/110443)+15arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は，計7項で10368です。
また，2arctan(1/239)-arctan(1/122)＝arctan(1/5827)-arctan(1/1561886607)を用いて変形すると，次の7項公式が得られます。ただし，その公式はH.Chien-lihにより既に発見されていました。
    π/4=266arctan(1/5827)-266arctan(1/1561886607)+581arctan(1/1252)+764arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は，計8項で9823です。
また，117+122=239であることに着目し，
    π/4=-133{arctan(1/117)+arctan(1/122)-4arctan(1/239)}+581arctan(1/1252)+897arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
において    arctan(1/117)+arctan(1/122)-4arctan(1/239)=arctan(6300757/895735135099) を分解すると，次の9項公式が得られます。
   π/4=133(-arctan(1/142163)+arctan(1/206149821627)+arctan(1/137425006086182550104062)-arctan(1/193395200676616680106993967876979706237964557))+581arctan(1/1252)+897arctan(1/2855)+366arctan(1/58898)+195arctan(1/110443)+537arctan(1/4841182)
正計算と検証計算における「項数」の和は，計10項で9692です。

なお，https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formulaによると，現在知られている「項数」の和が最小ペアは，黃見利が発見した次のもので，「項数」の和は，計12項で9214です。
    π/4=36462arctan(1/390112)+135908arctan(1/485298)+274509arctan(1/683982)-39581arctan(1/1984933)+178477arctan(1/2478328)-114569arctan(1/3449051)-146571arctan(1/18975991)+61914arctan(1/22709274)-69044arctan(1/24208144)-89431arctan(1/201229582)-43938arctan(1/2189376182)
    π/4=36462arctan(1/51387)+26522arctan(1/485298)+19275arctan(1/683982)-3119arctan(1/1984933)-3833arctan(1/2478328)-5183arctan(1/3449051)-37185arctan(1/18975991)-11010arctan(1/22709274)+3880arctan(1/24208144)-16507arctan(1/201229582)-7476arctan(1/2189376182)

その他の公式

分子が1でないものも許せば

π/4の式項数

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(369/128467) 6917

17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+5arctan(127/228636) 7420

16arctan(1/21)+7arctan(1/239)-4arctan(25/19157) 7617

16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(3/1042)
7852

17arctan(1/23)+3arctan(1/182)+5arctan(38/6281)
8138

12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(10/4331)
8250

19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(11/560003)
7684

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(11/8941377) 7763

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(4/1397)+12arctan(1/110443) 7907

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(2/1511)+12arctan(1/4443)
8058

44arctan(1/57)-17arctan(1/239)+24arctan(4/1147)+12arctan(1/12238)
8208

44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/1068)+12arctan(3/3001) 8267

127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+88arctan(2/81487)-144arctan(1/173932) 7636

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
5827

83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(303/34245479)-34arctan(2/2513489)
5820

1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)
5758

1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(303/34245479)-366arctan(2/2513489)
5751

などがあります。

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π/4の4項公式	項数	発見者	発見年
44arctan(1/57)+7arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)	7930	F.C.M.Størmer	1896
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1393)-10arctan(1/11018)	8172	E.B.Escott	1896
17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+10arctan(1/5118)+5arctan(1/6072)	8554	Jörg Arndt	1993
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/347)-4arctan(1/361577)	8752	M.R.Wetherfield	1980
12arctan(1/49)+32arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/110443)	8900	高野喜久雄	1982
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/343)-4arctan(1/27493)	8982	松元隆二	1996
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(1/353)+4arctan(1/21637)	9000	松元隆二	1996
12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(1/433)+4arctan(1/1875333)	9047	Castellanos	1988
17arctan(1/22)+3arctan(1/172)-2arctan(1/682)-7arctan(1/5357)	9067	M.R.Wetherfield	1980

π/4の5項公式	項数	発見者	発見年
24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-4arctan(1/474193)-4arctan(1/7250363755)	8041		2015
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8637069)+5arctan(1/133280317780182)	8061	A.S.Nimbran	2009
24arctan(1/31)+3arctan(1/239)-16arctan(1/14942)-8arctan(1/963375)-4arctan(1/30349818)	8157	松元隆二	2014
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1112)-5arctan(1/8638168)-5arctan(1/67922179193)	8168		2015
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812852)+12arctan(1/1453603235443)	8174	H.Chien-lih	1995
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812857)-12arctan(1/145361217682)	8211		2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73122)-12arctan(1/28872792057)	8216		2015
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50912)+arctan(1/983133543)	8240	H.Chien-lih	2004
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812882)-12arctan(1/22363952057)	8246		2014
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(1/50906)-arctan(1/770473317)	8247		2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812894)-12arctan(1/15904577057)	8253		2014
22arctan(1/28)+2arctan(1/443)-5arctan(1/1113)-5arctan(1/1082543)-5arctan(1/133759658193)	8264		2015
44arctan(1/109)+95arctan(1/239)-12arctan(1/682)+24arctan(1/12943)-44arctan(1/6826318)	8268	Jörg Arndt	1993
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(1/812732)+12arctan(1/5484485443)	8277		2014
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/693)-12arctan(1/73126)-12arctan(1/1277627057)	8287		2015

π/4の6項公式	項数
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/7939642926390344818)	6646
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/7939642926390344818)	6781
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/110443)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/4841182)+34arctan(1/7939642926390344818)	6796
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256745)+22arctan(1/42483057)-34arctan(1/3158814733307)	6820
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-44arctan(1/225443)-34arctan(1/1256744)+22arctan(1/42483057)+34arctan(1/3158812219818)	6820
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/88272)+22arctan(1/593461)-24arctan(1/2513489)+12arctan(1/7939642926390344818)	6933
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256745)-22arctan(1/7167807)-12arctan(1/3158814733307)	6955
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/105218)-12arctan(1/1256744)-22arctan(1/7167807)+12arctan(1/3158812219818)	6955

π/4の7項公式	項数
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103697)-24arctan(1/2513489)-44arctan(1/18280007883)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/3054211727257704725384731479018)	6704
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772000)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/11138408110872884772003)	6743
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772001)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/5569204055527841544002)	6747
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103696)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/60932772002)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/2227681622247696280801)	6751
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113021)-68arctan(1/2513489)+22arctan(1/33366019650)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/43599522992503626068)	6775
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103695)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/13056896655)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/1193377851828508219837)	6784
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103699)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/3385251935)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/309418127908988342167)	6822
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103698)-24arctan(1/2513489)-22arctan(1/4940590314)+12arctan(1/7939642926390344818)+22arctan(1/22028024592239441243)	6827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/103693)-24arctan(1/2513489)+22arctan(1/3808188073)+12arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/69611022720637564057)	6827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(1/113033)-68arctan(1/2513489)-22arctan(1/1099678758)+34arctan(1/7939642926390344818)-22arctan(1/85134253302968469818)	6849

π/4の式	項数
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(369/128467)	6917
17arctan(1/23)+8arctan(1/182)+5arctan(127/228636)	7420
16arctan(1/21)+7arctan(1/239)-4arctan(25/19157)	7617
16arctan(1/21)+3arctan(1/239)+4arctan(3/1042)	7852
17arctan(1/23)+3arctan(1/182)+5arctan(38/6281)	8138
12arctan(1/15)-arctan(1/239)-4arctan(10/4331)	8250
19arctan(1/24)-4arctan(1/882)-9arctan(1/6948)+arctan(11/560003)	7684
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(1/348)-12arctan(11/8941377)	7763
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+12arctan(4/1397)+12arctan(1/110443)	7907
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(2/1511)+12arctan(1/4443)	8058
44arctan(1/57)-17arctan(1/239)+24arctan(4/1147)+12arctan(1/12238)	8208
44arctan(1/57)-5arctan(1/239)+24arctan(1/1068)+12arctan(3/3001)	8267
127arctan(1/239)+188arctan(1/515)-120arctan(1/1068)+88arctan(2/81487)-144arctan(1/173932)	7636
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)	5827
83arctan(1/107)+17arctan(1/1710)-22arctan(303/34245479)-34arctan(2/2513489)	5820
1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(17/1762829)-12arctan(2/2513489)	5758
1345arctan(1/1710)+83arctan(46/268043)-581arctan(3/145589)-354arctan(303/34245479)-366arctan(2/2513489)	5751