数学関連
円に内接するn角形の中で面積が最大となるのは正n角形である
「円に内接する多角形の中で，正多角形が一番大きな面積を持つことの初等的証明」を高校生が考えたという話題を知りました。
しかし，その証明は数学Ⅲを用いた高度なもので，一般の高校生が理解するには難しいのではと感じました。
そこで，難しい数式を用いない証明を考えてみました。(2024年4月)
初等整数論の初歩
初等整数論の初歩を解説しました。
高校の教科書の「整数の性質」には，証明がきちんと書かれていないので，それを埋めるために，高木貞治先生の「初等整数論講義」などを参考にしました。
教科書や参考書などでは満足できない数学好きの高校生向きで，最難関大学を目指す高校生のために，大学入試問題を豊富に取り入れています。
原始根の存在定理と平方剰余の相互法則
初等整数論の初歩の続編で，原始根の存在定理と平方剰余の相互法則の証明を書きました。
大学受験のレベルは超えている内容で難しいですが，数学ボーイや数学ガールにも理解できるように，丁寧に証明したつもりです。
高木貞治先生の「初等整数論講義」などを参考にしました。
フィボナッチ数列9999
問題 1
a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an
で定義されるフィボナッチ数列
1，1，2，3，5，8，13，21，……
の項の中に，下4桁が9999となるものが存在することを示しなさい。
一般に，nを任意の自然数として，下n桁がすべて9になる項が存在します。
問題 2
第n項には，1がn個並ぶ数列
1，11，111，1111，11111，……
を考えます。この数列の項の中に，2の倍数と5の倍数は存在しません。
しかしながら
111は3の倍数，111111は7の倍数，11は11の倍数，111111は13の倍数，1111111111111111は17の倍数，……
などとなります。
一般に，2，5以外の素数について，この数列の項の中に，その素数で割り切れるものが存在します。
2027年に出題するなら，次のような問題になります。
「この数列の項の中に2027で割り切れるものが存在することを示せ。」
さらに一般化すると，次のような問題になります。
「自然数mが2でも5でも割り切れなければ，この数列の項の中に，mで割り切れるものが存在することを示せ。」
なお，次の数は素数です。1が並ぶ素数は他にも存在するようです。
11
1111111111111111111
11111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
問題1は解答を付けましたが，問題2は解答を付けません。問題1の解答を参考にして考えてみて下さい。問題2には，問題1と同様に鳩ノ巣原理を用いる証明
の他に，初等整数論のオイラーの定理を用いる証明があります。
13枚の金貨
金貨が13枚あって，その中に1枚だけ重さが違う偽金貨がある。偽金貨は，本物より重いか軽いか分からない。その偽金貨を，天秤
を3回だけ使って見つけよ。ただし，偽金貨が本物より重いか軽いかを見分けなくて良いものとする。
上記の問題を一般化して，(3n－1)/2枚のとき，天秤をn回だけ使って見つける証明ができたので掲載します。
素数が無限に存在することの証明
補題 a，bを互いに素な整数とすると，ab と a+b は互いに素である。
証明 ab と a+b
が互いに素でないと仮定すると，ある素数pが存在して，整数k，lを用いて ab=kp，a+b=lp と表される。
このとき，ab=kpより，a，bの少なくとも一方はpの倍数である。
aがpの倍数であるとすると，b=lp-aよりbがpの倍数となり，aとbが互いに素であることに矛盾する。
bがpの倍数であるとしても，同様に矛盾する。
ゆえに，ab と a+b は互いに素である。
証明の基本形（以下のすべての証明は，この証明の変形です。）
自然数Ｎは，「Ｎ＝K×L，KとＬは互いに素な自然数」と分解できる。(特にL
=1はこれを満たす)
このとき，Ｋ×Ｌ と Ｋ＋Ｌ は互いに素であるから，Ｎ´＝Ｎ×(Ｋ＋Ｌ)
の異なる素因数の個数は，Ｎの異なる素因数の個数より多い。
この操作は，無限に続けることができるから，素数は無限に存在する。
ユークリッドの証明（証明の基本形と同じになるように，少し変形
しました。）
p1， p2，……，pn が異なる素数の組であるとき，p1×p2×……×pn
と P＝p1×p2×……×pn＋1
は互いに素である。
よって，Pの素因数の１つをpn＋1とすると，p1， p2，……，pn，
pn＋1も異なる素数の組である。
この操作は，無限に続けることができるから，素数は無限に存在する。
エラトステネスの篩による証明
nを自然数として，集合Enと自然数pnを次のように帰納的に定義する。
Ⅰ 2以上の自然数の集合をE1とし，p1=2とする。
Ⅱ Enの要素からpnの倍数を除いてできる集合をEn+1と
する。
このとき，p1×p2×……×pn＋1
はp1， p2，……，pn の倍数でないから，En+1の
要素であり，En+1は空集合でない。
En+1の要素の最小値をpn+1と
する。
Ⅱの操作は無限に続けることができ，pnは素数だから，素数は無限に存在する。
フェルマー数による証明の変形
数列 {an} は，a1を1より大きい整数として，次の漸化式により定義される数列とする。
an＋1＝a1a2a3……an＋1
任意の自然数nについて，an＋1と ak (k＝1，2，3，……，n) は互いに素であるから， {an}
の各項は，どの2つも互いに素である。
よって，任意に多くの異なる素因数を作れるので，素数は無限に存在する。
サイダックの証明
nは1より大きい整数とする。n と n＋1 は連続する整数であるから，これらは互いに素である。
したがって，N2＝n(n＋1) は少なくとも2つの異なる素因数を持つ。
同様に，n(n＋1) と n(n＋1)＋1 は連続する整数であるから，互いに素である。
よって，N3＝n(n＋1){n(n＋1)＋1} は少なくとも3つの異なる素因数を持つ。
この操作は，無限に続けることができる。
漸化式 an＋1＝a1a2a3……an＋1
において Nn＝a1a2a3……an
とおくと， an＋1＝Nn＋1，Nn＋1＝Nnan
＋1 であるから Nn＋1＝Nn(Nn＋1)
が成り立つ。
よって，フェルマー数による証明とサイダックの証明は同等であると言える。補足証明
スティルチェスの証明の背理法を使わない変形
p1，
p2，……，
pn を異なる素数の組であるとき，p1×p2×……×pn
と Ｐ＝p1×p2×……×pm＋pm＋1×……×pn
は互いに素である。
よって，Ｐの素因数の１つをpn＋1とすると，p1，p2，……，pn，pn
＋1も異なる素数の組である。
この操作は，無限に続けることができるから，素数は無限に存在する。
クンマーの証明
ユークリッドの証明において P＝p1×p2×……×pn＋1 を P＝p1×p2×……×pn－1
にかえたもの
オイラーのφ関数を用いた証明
p1， p2，……，pn が異なる素数の組であるとき，φ(p1×p2×……×pn
)＝(p1-1)×(p2-1)×……×(pn
-1)＞1 である。
よって，p1×p2×……×pn以下の自然数で，1以外にp1×p2×……×pnと
互いに素な自然数が存在するから，素数は無限に存在する。
どの証明も，本質的にはユークリッドの『原論』にある証明の変形で，別証明という程ではないですね。
変形として，「a1，a2，……，an のどの2つも互いに素ならば，a1a2……an
と a2a3……an＋a1a3……an＋a1a2a4……an＋……
＋a1a2a3……an－1は互いに素である」
ことを用いた証明もあります。
Erdősのベルトランの仮説の証明を基にした証
明
エルデシュが高校生のときに，ベルトランの仮説（チェビシェフの定理）を 2nCnの性質を用いて証明し
ましたが，その証明の一部で，素数が無限に存在することが証明できます。
さらに，n≧2としてn以下の素数の個数をπ(n)とするとき，π(n)≧nlog(2)/log(n)-1 が証明できます。
また，この証明と考え方が似た，チェビシェフの証明も紹介します。
3次方程式の解の公式
3次方程式の解の公式で，カルダノの解法と若干異なる解法を紹介します。
指数関数の定義
数学Ⅱの教科書における指数関数の定義は、複雑で難解です。また、無理数乗まで拡張した証明は高校レベルを超えているので、あらすじしか書かれていません。
そこで，大学で習う知識を一部用いて、指数を実数まで拡張してみました。高校生には難しいかもしれません、教科書に不満だった方はぜひ読んでみてください。。
また、教科書とは違った指数関数の定義も書いてみました。1/tの1からxまでの定積分を用いて対数関数を定義し、対数関数の逆関数を指数関数と定義したものです。
数学Ⅲは使っていますが大学数学は使っていないので、数学Ⅲが既習で、数学Ⅱの教科書の指数・対数の記述は分からないと感じた方はぜひ読んでみてください。
合成関数の微分法の公式の厳密な証明
高校の数学Ⅲの教科書にある合成関数の微分法の公式の証明が、厳密な証明ではないことは、高木貞二先生の解析概論でも指摘されて
いますが、これについて解説を試みました。
ただし、高校の数学の教科書を厳密に記述したら、今でも難しいものが、ほとんどの高校生はさっぱり分からなくなると思いますので、普通の生徒にとっては今
の教科書にある証明で十分です。
数学好きの高校生は、読んでみて下さい。
単振り子
単振り子の運動方程式の厳密解と，周期の近似値を求めてみました。
円周率の2乗は無理数である
円周率が無理数である証明は、大阪大学の2003年理系後期に出題されました。その入試問題の方法を改良して，π2が
無理数であることを，高校数学の範囲で簡潔に証明しました。
さらにその証明を一般化して、次の無理数性判定の補題を得ました。
(1) において特にθ＝π/2とすればπ2が無理数であることが証明され，(2)
において特にθ＝1とすればeが無理数であることが証明されます。
θを0でない実数とするとき，
(1) θ2，sinθ，θcosθ の少なくとも1つは無理数である。
(2) θ2，sinhθ，θcoshθ
の少なくとも1つは無理数である。
円周率の有理数近似
ディリクレの
ディオファントス近似定理により，次の式を満たす自然数 x，y の組は無数に存在します。
|π-y/x|<1/x^2
実際に x<10000000000
の範囲において調べたところ，次のものを見つけました。ただし，この中には既約分数でないものも含まれています。
3 / 1， 4 / 1， 6 / 2
19 / 6
22 / 7， 44 / 14， 66 / 21， 88 / 28
333 / 106
355 / 113， 710 / 226， 1065 / 339， 1420 / 452， 1775 / 565， 2130 /
678， 2485 / 791， 2840 / 904， 3195 / 1017， 3550 / 1130， 3905 / 1243，
4260 / 1356， 4615 / 1469， 4970 / 1582， 5325 / 1695， 5680 / 1808， 6035 /
1921
103993 / 33102
104348 / 33215
208341 / 66317
312689 / 99532
521030 / 165849
833719 / 265381
1146408 / 364913， 2292816 / 729826
4272943 / 1360120
5419351 / 1725033， 10838702 / 3450066， 16258053 / 5175099
80143857 / 25510582
85563208 / 27235615
165707065 / 52746197
245850922 / 78256779
411557987 / 131002976
657408909 / 209259755
1068966896 / 340262731
1480524883 / 471265707
2549491779 / 811528438
3618458675 / 1151791169
6167950454 / 1963319607
8717442233 / 2774848045
14885392687 / 4738167652
21053343141 / 6701487259
上記のうち，既約分数で特に近似が良いものを小数で表してみました。なお，円周率は 3.14159265358979323846264…… です。
22 / 7 = 3.1428……
355 / 113 = 3.14159292……
5419351 / 1725033 = 3.14159265358981……
21053343141 / 6701487259 = 3.14159265358979323846238……
ペル方程式
初等整数論の初歩にもある，ペル方程式について解説しました。